Suite géométrique

Le calculateur de suite géométrique trouve le n-ième terme, la raison et la somme des n premiers termes, ainsi que la somme d'une série géométrique infinie. Une suite peut être donnée par son premier terme et sa raison, par le premier et le n-ième terme, ou par deux termes quelconques. Lorsque deux raisons conviennent (q et −q), le calculateur traite les deux cas. La réponse est exacte — en fractions, avec une solution pas à pas et un tableau des premiers termes.

Qu'est-ce qu'une suite géométrique

Une suite géométrique est une suite de nombres non nuls dans laquelle chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en multipliant le terme précédent par le même nombre q. Ce nombre s'appelle la raison.

b_n+1 = b_n · q,   b₁ ≠ 0,   q ≠ 0

Par exemple, 3, 6, 12, 24, 48, … est une suite géométrique avec b₁ = 3 et q = 2. Lorsque q < 0, les signes des termes alternent : 1, −2, 4, −8, …

Formules principales

La valeur absolue de chaque terme, sauf le premier, est la moyenne géométrique de ses voisins — c'est de là que vient le nom.

Exemple 1. b₁ = 3, q = 2. Trouvez b₁₀ et S₁₀.
b₁₀ = 3 · 2⁹ = 1536
S₁₀ = 3 · (2¹⁰ − 1) / (2 − 1) = 3069

Comment trouver la raison à partir de deux termes

Le quotient de deux termes est égal à q élevé à la puissance de la différence de leurs rangs : b_m / b_k = q^m−k. Il suffit ensuite de prendre la racine d'ordre m − k. Si cet ordre est pair et que le quotient est positif, deux raisons conviennent : q et −q.

Exemple 2. b₁ = 2, b₅ = 162.
q⁴ = 162 / 2 = 81 ⇒ q = 3 ou q = −3.
Pour q = 3 : S₅ = 242, pour q = −3 : S₅ = 122.

Série géométrique infinie

Si |q| < 1, les termes tendent vers zéro et les sommes partielles S_n tendent vers un nombre fini S = b₁ / (1 − q). Si |q| ≥ 1, la série n'a pas de somme finie.

Exemple 3. 8 + 4 + 2 + 1 + … : b₁ = 8, q = 1/2.
S = 8 / (1 − 1/2) = 16

Cette formule permet de transformer un nombre décimal périodique en fraction : 0,(3) = 0,3 + 0,03 + … = 0,3 / (1 − 0,1) = 1/3.