$Opérations sur les vecteurs$

Opérations sur les vecteurs

Additionnez et soustrayez des vecteurs, multipliez un vecteur par un réel et trouvez une combinaison linéaire de vecteurs à partir des coordonnées, avec une solution pas à pas.

Ce que l’on connaît :

Somme de vecteurs a + b

Différence de vecteurs a − b

Multiplication par un scalaire k · a

Combinaison linéaire α · a + β · b

Espace : dans le plan (x, y) dans l’espace (x, y, z)

Les coordonnées sont des entiers, des décimaux ou des fractions : 3, −1.5, 2/3.

Testez-vous

Le calculateur d'opérations sur les vecteurs additionne et soustrait des vecteurs, multiplie un vecteur par un réel et trouve la combinaison linéaire αa + βb dans le plan et dans l'espace. La norme du vecteur obtenu est calculée immédiatement. Les coordonnées peuvent être des entiers, des décimaux et des fractions.

Opérations en coordonnées

Opération	Formule
Somme	a + b = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
Différence	a − b = (x₁ − x₂, y₁ − y₂, z₁ − z₂)
Multiplication par un réel	ka = (kx, ky, kz)
Combinaison linéaire	αa + βb = (αx₁ + βx₂, αy₁ + βy₂, αz₁ + βz₂)

Exemple. a = (1, 2, 3), b = (4, −1, 2).
a + b = (5, 1, 5), a − b = (−3, 3, 1)
2a − 3b = (2, 4, 6) + (−12, 3, −6) = (−10, 7, 0)

Interprétation géométrique

La somme suit la relation de Chasles (le second vecteur commence à l'extrémité du premier) ou la règle du parallélogramme (la diagonale du parallélogramme construit sur les vecteurs).
La différence a − b est le vecteur allant de l'extrémité de b à l'extrémité de a lorsque les deux ont la même origine.
La multiplication par un réel étire le vecteur |k| fois ; pour k < 0, le sens est inversé.