$Distance d'un point à une droite$

Distance d'un point à une droite

Calculez la distance d'un point à une droite en 2D et en 3D et d'un point à un plan, avec le pied de la perpendiculaire et la solution détaillée étape par étape.

Ce que l’on connaît :

Point et droite Ax + By + C = 0

Point et droite passant par deux points

Point et plan Ax + By + Cz + D = 0

Espace : dans le plan (x, y) dans l’espace (x, y, z)

Les coordonnées sont des entiers, des décimaux ou des fractions : 3, −1.5, 2/3.

Testez-vous

Le calculateur de distance d'un point à une droite détermine la distance d'un point à une droite donnée par son équation générale ou par deux points, dans le plan et dans l'espace, ainsi que la distance d'un point à un plan. Il trouve aussi le pied de la perpendiculaire — le point de la droite le plus proche du point donné (la projection du point sur le plan).

Formules de distance

Problème	Formule
Point M(x₀, y₀) et droite Ax + By + C = 0	d = \|Ax₀ + By₀ + C\| / √(A² + B²)
Point et droite AB dans l'espace	d = \|AM × AB\| / \|AB\|
Point et plan Ax + By + Cz + D = 0	d = \|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D\| / √(A² + B² + C²)

Exemple 1. M(3, 4), droite 3x + 4y − 5 = 0.
d = |9 + 16 − 5| / √(9 + 16) = 20 / 5 = 4.

Exemple 2. M(1, 2, 3), plan 2x − 2y + z − 4 = 0.
d = |2 − 4 + 3 − 4| / √(4 + 4 + 1) = 3 / 3 = 1.

La formule dans l'espace utilise le produit vectoriel : sa norme est l'aire du parallélogramme construit sur AM et AB, et la distance est la hauteur de ce parallélogramme relative au côté AB. Si la distance est nulle, le point appartient à la droite (dans le plan).