Espérance mathématique
Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire discrète, formule de Bernoulli et loi binomiale avec solution détaillée.
Le calculateur d'espérance mathématique détermine l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire discrète à partir de sa loi de probabilité, et résout les problèmes d'épreuves de Bernoulli : probabilité de k succès en n épreuves, espérance et variance de la loi binomiale, nombre de succès le plus probable.
Variable aléatoire discrète
| Caractéristique | Formule |
|---|---|
| Espérance mathématique | M(X) = E(X) = Σxipi |
| Variance | D(X) = M(X²) − (M(X))² = Σxi²pi − (M(X))² |
| Écart-type | σ(X) = √D(X) |
La somme des probabilités de toutes les valeurs doit être égale à 1 — le calculateur le vérifie.
Exemple. Un dé : valeurs 1…6 avec la probabilité 1/6.
M(X) = (1 + 2 + … + 6) / 6 = 3,5, M(X²) = 91/6, D(X) = 91/6 − 3,5² = 35/12.
Épreuves de Bernoulli et loi binomiale
Pn(k) = Cnk pk qn−k, q = 1 − p; M(X) = np, D(X) = npq
Exemple. On lance une pièce 10 fois. Probabilité d'obtenir exactement 5 fois « face » :
P10(5) = C105 · (1/2)10 = 252/1024 ≈ 0,2461.
Le nombre de succès le plus probable k0 vérifie np − q ≤ k0 ≤ np + p.
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