Systèmes d'équations linéaires

Le solveur de systèmes d'équations linéaires résout des systèmes de deux ou trois équations par la règle de Cramer, la méthode du pivot de Gauss ou la méthode de la matrice inverse. Tous les calculs utilisent des fractions exactes, chaque étape est détaillée et la réponse est vérifiée par substitution. La calculatrice détecte aussi les systèmes sans solution ou avec une infinité de solutions.

Règle de Cramer

Calculez le déterminant principal Δ à partir des coefficients des inconnues. Si Δ ≠ 0, remplacez tour à tour la colonne des coefficients de x, y, z par la colonne des constantes pour obtenir les déterminants Δ_x, Δ_y, Δ_z :

x = ^Δ_x/_Δ,   y = ^Δ_y/_Δ,   z = ^Δ_z/_Δ

Exemple. 3x + 2y = 7,   x − y = −1
Δ = 3 · (−1) − 2 · 1 = −5 ;   Δ_x = 7 · (−1) − 2 · (−1) = −5 ;   Δ_y = 3 · (−1) − 7 · 1 = −10
x = −5 / (−5) = 1,   y = −10 / (−5) = 2

Méthode du pivot de Gauss

Écrivez la matrice augmentée du système et ramenez-la à une forme échelonnée : soustrayez des multiples des lignes du haut aux lignes du bas jusqu'à obtenir des zéros sous la diagonale principale. Utilisez ensuite la remontée pour trouver les inconnues de bas en haut. La méthode de Gauss fonctionne toujours — que la solution soit unique, qu'il n'y en ait aucune ou qu'il y en ait une infinité.

Méthode de la matrice inverse

Écrivez le système sous la forme A · X = B, où A est la matrice des coefficients, X la colonne des inconnues et B la colonne des constantes. Si det A ≠ 0, la solution est X = A⁻¹ · B. L'inverse se calcule à l'aide des cofacteurs : A⁻¹ = ¹/_{det A} · (C)^T, où C est la matrice des cofacteurs.

Combien de solutions possède un système

• Δ ≠ 0 — exactement une solution.
• Δ = 0 — soit aucune solution (le système est incompatible), soit une infinité. La méthode de Gauss permet de trancher : une ligne « 0 = nombre » signifie aucune solution ; une ligne « 0 = 0 » signifie une infinité de solutions.