Suite arithmétique
Le calculateur trouve le n-ième terme, la raison et la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique à partir de données quelconques et vérifie si un nombre est un terme. Solution pas à pas.
Le calculateur de suite arithmétique trouve le n-ième terme, la raison et la somme des n premiers termes. Une suite peut être donnée par son premier terme et sa raison, par le premier et le n-ième terme, ou par deux termes quelconques. Le calculateur vérifie aussi si un nombre est un terme de la suite. Vous pouvez saisir des nombres entiers, décimaux et des fractions — la réponse est exacte, avec une solution pas à pas et un tableau des premiers termes.
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme, à partir du deuxième, s'obtient en ajoutant au terme précédent le même nombre d. Ce nombre s'appelle la raison.
an+1 = an + d
Par exemple, 2, 5, 8, 11, 14, … est une suite arithmétique de premier terme a1 = 2 et de raison d = 3. Si d > 0, la suite est croissante ; si d < 0, elle est décroissante ; et si d = 0, tous les termes sont égaux.
Formules principales
| Ce qu'on cherche | Formule |
|---|---|
| n-ième terme | an = a1 + d(n − 1) |
| Raison | d = an+1 − an = (an − a1) / (n − 1) |
| Somme des n premiers termes | Sn = (a1 + an) / 2 · n |
| Somme à partir de a1 et d | Sn = (2a1 + d(n − 1)) / 2 · n |
| Propriété de la moyenne | an = (an−1 + an+1) / 2 |
Chaque terme d'une suite arithmétique, sauf le premier, est la moyenne arithmétique de ses voisins — c'est de là que vient le nom.
Exemple 1. a1 = 2, d = 3. Trouvez a10 et S10.
a10 = 2 + 3 · (10 − 1) = 29
S10 = (2 + 29) / 2 · 10 = 155
Exemple 2. a3 = 11, a7 = 23. Trouvez la raison et le premier terme.
a7 − a3 = 4d ⇒ d = (23 − 11) / 4 = 3
a1 = a3 − 2d = 11 − 6 = 5
Comment vérifier si un nombre est un terme de la suite
Un nombre x est un terme de la suite s'il existe un entier naturel n tel que x = a1 + d(n − 1). Résolvez pour le rang : n = (x − a1) / d + 1. Si n est un entier naturel, x est le n-ième terme ; sinon x n'appartient pas à la suite.
Exemple 3. 47 est-il un terme de la suite 3, 7, 11, … ?
n = (47 − 3) / 4 + 1 = 12 — oui, 47 = a12.
La formule de la somme de Gauss
Les entiers naturels 1, 2, 3, …, n forment une suite arithmétique de premier terme a1 = 1 et de raison d = 1, donc leur somme vaut n(n + 1) / 2. Par exemple, 1 + 2 + … + 100 = 100 · 101 / 2 = 5050.
Commentaires
Aucun commentaire pour le moment.