Арифметическая прогрессия

Калькулятор арифметической прогрессии находит n-й член, разность и сумму первых n членов. Прогрессию можно задать первым членом и разностью, первым и n-м членом или двумя любыми членами. Калькулятор также проверяет, является ли число членом прогрессии. Числа можно вводить целые, десятичные и дробями — ответ получается точным, с подробным решением и таблицей первых членов.

Что такое арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d. Это число называют разностью прогрессии.

a_n+1 = a_n + d

Например, 2, 5, 8, 11, 14, … — арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 2 и разностью d = 3. Если d > 0, прогрессия возрастает, если d < 0 — убывает, при d = 0 все члены равны.

Основные формулы

Каждый член арифметической прогрессии (кроме первого) равен среднему арифметическому соседних членов — отсюда и название.

Пример 1. a₁ = 2, d = 3. Найдём a₁₀ и S₁₀.
a₁₀ = 2 + 3 · (10 − 1) = 29
S₁₀ = (2 + 29) / 2 · 10 = 155

Пример 2. a₃ = 11, a₇ = 23. Найдём разность и первый член.
a₇ − a₃ = 4d ⇒ d = (23 − 11) / 4 = 3
a₁ = a₃ − 2d = 11 − 6 = 5

Как проверить, является ли число членом прогрессии

Число x является членом прогрессии, если найдётся натуральное n, для которого x = a₁ + d(n − 1). Выразим номер: n = (x − a₁) / d + 1. Если n получилось натуральным — число входит в прогрессию и стоит на месте n, иначе — нет.

Пример 3. Входит ли 47 в прогрессию 3, 7, 11, …?
n = (47 − 3) / 4 + 1 = 12 — да, 47 = a₁₂.

Сумма чисел по формуле Гаусса

Натуральные числа 1, 2, 3, …, n образуют арифметическую прогрессию с a₁ = 1 и d = 1, поэтому их сумма равна n(n + 1) / 2. Например, 1 + 2 + … + 100 = 100 · 101 / 2 = 5050.