Скалярное произведение

Калькулятор скалярного произведения вычисляет скалярное произведение векторов по координатам (на плоскости и в пространстве) или по длинам векторов и углу между ними. По координатам он также находит длины векторов, косинус угла, сам угол, проекцию одного вектора на другой и проверяет перпендикулярность.

Формулы скалярного произведения

Пример 1. a = (1; 2; −3), b = (4; −1; 2).
a · b = 1 · 4 + 2 · (−1) + (−3) · 2 = −4 — угол тупой.

Пример 2. |a| = 3, |b| = 4, φ = 60°.
a · b = 3 · 4 · ½ = 6.

Свойства

• a · b = 0 ⇔ векторы перпендикулярны (или один из них нулевой).
• Знак скалярного произведения показывает вид угла: «+» — острый, «−» — тупой.
• a · a = |a|² — скалярный квадрат равен квадрату длины.
• Скалярное произведение коммутативно и распределительно: a · (b + c) = a · b + a · c.

В физике скалярное произведение силы на перемещение — работа силы: A = F · s · cos φ.