Комплексные числа
Калькулятор комплексных чисел: сложение, умножение, деление, модуль и аргумент, тригонометрическая и показательная формы, степень по Муавру и корни.
Калькулятор комплексных чисел складывает, вычитает, умножает и делит комплексные числа, находит модуль, аргумент, тригонометрическую и показательную формы, сопряжённое число, возводит в степень по формуле Муавра и извлекает корни степени n. Действия в алгебраической форме выполняются точно — с дробями.
Действия в алгебраической форме z = a + bi
| Действие | Формула |
|---|---|
| Сумма | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i |
| Произведение | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, так как i² = −1 |
| Частное | (a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²) |
| Сопряжённое | z̄ = a − bi, z · z̄ = a² + b² |
Модуль, аргумент и формы записи
|z| = √(a² + b²), φ = arg z, z = |z|(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ
Пример. z = 1 + i: |z| = √2, φ = π/4, z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Формула Муавра и корни
zⁿ = |z|ⁿ(cos nφ + i sin nφ), wk = ⁿ√|z| · (cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), k = 0, …, n − 1
Пример. (1 + i)⁸ = (√2)⁸(cos 2π + i sin 2π) = 16. Корни третьей степени из 8: 2, −1 + √3·i, −1 − √3·i.
У каждого ненулевого числа ровно n различных корней степени n; на комплексной плоскости они образуют правильный n-угольник.
Связанные Калькуляторы
Комментарии
Комментариев пока нет.