Производная функции
Калькулятор производных: производная любой функции с правилами дифференцирования, значение в точке, касательная, вторая производная и график.
Калькулятор производных находит производную функции с подробным решением: показывает, какие правила применяются (суммы, произведения, частного, сложной функции), упрощает результат и выводит таблицу использованных формул. Он также находит значение производной в точке и уравнение касательной, вторую производную и производную порядка до 6, строит графики функции и производной.
Правила дифференцирования
| Правило | Формула |
|---|---|
| Сумма | (u ± v)′ = u′ ± v′ |
| Постоянный множитель | (Cu)′ = Cu′ |
| Произведение | (uv)′ = u′v + uv′ |
| Частное | (u/v)′ = (u′v − uv′)/v² |
| Сложная функция | (f(u))′ = f′(u) · u′ |
Таблица производных
| (xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹ | (√x)′ = 1/(2√x) | (eˣ)′ = eˣ | (aˣ)′ = aˣ ln a |
| (ln x)′ = 1/x | (sin x)′ = cos x | (cos x)′ = −sin x | (tg x)′ = 1/cos²x |
| (ctg x)′ = −1/sin²x | (arcsin x)′ = 1/√(1 − x²) | (arctg x)′ = 1/(1 + x²) | (C)′ = 0 |
Пример 1. f(x) = x² sin x.
f′(x) = (x²)′ sin x + x² (sin x)′ = 2x sin x + x² cos x.
Пример 2. f(x) = x³ − 3x, x₀ = 2.
f′(x) = 3x² − 3, f′(2) = 9, f(2) = 2, касательная: y = 9x − 16.
Геометрический и физический смысл
Производная в точке — угловой коэффициент касательной к графику: k = tg α = f′(x₀). Уравнение касательной: y = f(x₀) + f′(x₀)(x − x₀). В физике производная пути по времени — мгновенная скорость, производная скорости — ускорение.
Связанные Калькуляторы
Комментарии
Комментариев пока нет.