Определитель матрицы

Калькулятор определителя вычисляет определитель квадратной матрицы до 6×6 методом Гаусса (приведением к треугольному виду) или разложением по первой строке (до 4×4). Для матриц 2×2 и 3×3 показаны формулы. Вычисления точные — в дробях.

Формулы для малых матриц

|a b; c d| = ad − bc

Определитель 3×3 по правилу треугольников (Саррюса): три произведения по главной диагонали и параллельным ей «треугольникам» со знаком плюс, три — по побочной со знаком минус.

Метод Гаусса

1. Элементарными преобразованиями строк обнуляем элементы под главной диагональю.
2. Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, не меняет определитель; перестановка двух строк меняет знак.
3. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Разложение по строке

det A = a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃ − …

M_1j — минор: определитель матрицы без первой строки и j-го столбца.

Свойства определителя

• det A^T = det A,   det(AB) = det A · det B.
• Если строки линейно зависимы (например, две строки пропорциональны), определитель равен нулю.
• det A ≠ 0 тогда и только тогда, когда у матрицы есть обратная.