Угол между векторами

Калькулятор угла между векторами находит косинус угла и сам угол между двумя векторами по их координатам на плоскости и в пространстве, а также угол ABC треугольника по координатам трёх точек. Косинус записывается точно (например, −2√6/21), табличные углы — точно (60°, 135°), остальные — в градусах с точностью до 0.0001.

Формула угла между векторами

cos φ = (a · b) / (|a| · |b|) = (x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂) / (√(x₁² + y₁² + z₁²) · √(x₂² + y₂² + z₂²))

Угол между векторами всегда лежит в пределах от 0° до 180°.

Пример 1. a = (1; 1; 0), b = (0; 1; 1).
a · b = 1, |a| = |b| = √2, cos φ = 1/2 ⇒ φ = 60°.

Пример 2. Угол ABC: A(1; 0), B(0; 0), C(1; 1).
BA = (1; 0), BC = (1; 1), cos ∠B = 1/√2 = √2/2 ⇒ ∠ABC = 45°.

Как понять вид угла без вычислений

Если векторы сонаправлены, угол равен 0°, если противоположно направлены — 180°. Для нулевого вектора угол не определён.