Исследование функции

Калькулятор исследования функции выполняет полное исследование многочлена или дробно-рациональной функции по школьной схеме: находит область определения, чётность, нули, асимптоты, производную, промежутки монотонности и экстремумы, вторую производную, выпуклость и точки перегиба, а в конце строит график. Корни находятся точно, когда это возможно (например, x = (1 + √5)/2), остальные — приближённо.

Схема исследования функции

1. Область определения D(f). Для дроби исключаем точки, где знаменатель равен нулю.
2. Чётность. Если f(−x) = f(x) — функция чётная (график симметричен относительно Oy), если f(−x) = −f(x) — нечётная (симметричен относительно начала координат).
3. Точки пересечения с осями. С осью Ox — решения уравнения f(x) = 0, с осью Oy — точка (0; f(0)).
4. Асимптоты. Вертикальные — в нулях знаменателя; горизонтальная или наклонная y = kx + b — по поведению функции при x → ±∞.
5. Производная f′(x). Нули производной — критические точки. Где f′(x) > 0, функция возрастает, где f′(x) < 0 — убывает. Если при переходе через точку знак меняется с «+» на «−» — это максимум, с «−» на «+» — минимум.
6. Вторая производная f″(x). Где f″(x) > 0, график выпуклый вниз (∪), где f″(x) < 0 — выпуклый вверх (∩). Точка, в которой f″ меняет знак, — точка перегиба.
7. График строят по всем найденным точкам и асимптотам.

Производная дроби

(P / Q)′ = (P′ · Q − P · Q′) / Q²

Знаменатель Q² положителен на всей области определения, поэтому знак производной совпадает со знаком числителя.

Асимптоты дробно-рациональной функции

Если числитель и знаменатель обращаются в ноль в одной точке, после сокращения на графике остаётся выколотая точка, а не асимптота: (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 при x ≠ 1.

Пример. f(x) = x³ − 3x.
D(f) = (−∞; +∞), функция нечётная, нули: x = 0, x = ±√3.
f′(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1; x = −1 — максимум, f(−1) = 2; x = 1 — минимум, f(1) = −2.
f″(x) = 6x: при x < 0 график выпуклый вверх, при x > 0 — вниз, (0; 0) — точка перегиба.

Как вводить функцию

Многочлены и дроби из многочленов: x^3 − 3x, (x^2 + 1)/x, x/(x^2 − 4), (x − 1)^2(x + 2). Знак умножения можно не писать, степени — целые числа до 12. Для функций с корнями, логарифмами и синусами воспользуйтесь построителем графиков.