Логарифмы

Калькулятор логарифмов вычисляет логарифм по любому основанию, натуральный логарифм ln и десятичный логарифм lg. Если число является степенью основания, калькулятор находит точное значение (например, log₈ 32 = 5/3), иначе — приближённое по формуле перехода. Основание и число можно вводить дробями, корнями и степенями: 1/8, √2, 2^5, e^3.

Что такое логарифм

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b:

log_a b = c   ⇔   a^c = b

Логарифм определён при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Логарифм по основанию 10 называют десятичным и пишут lg b, логарифм по основанию e ≈ 2.71828 — натуральным: ln b.

Свойства логарифмов

Как вычислить логарифм точно

Представьте основание и число в виде степеней одного и того же числа, а затем вынесите показатели по свойствам степени:

Пример 1. log₈ 32: 8 = 2³, 32 = 2⁵.
log_2³ 2⁵ = 5/3 · log₂ 2 = 5/3

Пример 2. log_1/3 27: 27 = (1/3)⁻³, поэтому log_1/3 27 = −3.

Пример 3. lg 0.001 = lg 10⁻³ = −3,   ln √e = ln e^1/2 = 1/2.

Приближённое значение

Если число не является точной степенью основания, логарифм иррационален. Его находят по формуле перехода к натуральным логарифмам:

Пример 4. log₂ 10 = ln 10 / ln 2 ≈ 2.302585 / 0.693147 ≈ 3.321928

Логарифм отрицательного числа и нуля среди действительных чисел не существует: положительное основание в любой степени даёт положительное число.