Обратная матрица

Калькулятор обратной матрицы находит обратную матрицу методом Гаусса–Жордана (до 6×6) или через алгебраические дополнения (до 4×4) с подробным решением и проверкой A · A⁻¹ = E. Если определитель равен нулю, калькулятор сообщит, что обратной матрицы нет.

Что такое обратная матрица

Обратная матрица A⁻¹ — такая матрица, что A · A⁻¹ = A⁻¹ · A = E. Она существует только у квадратной матрицы с ненулевым определителем.

Метод Гаусса–Жордана

Записываем расширенную матрицу [A | E] и преобразованиями строк приводим левую часть к единичной. Справа получается A⁻¹: [A | E] → [E | A⁻¹].

Через алгебраические дополнения

A⁻¹ = (1 / det A) · A^*,   A^* = (A_ij)^T,   A_ij = (−1)^i+jM_ij

Для матрицы 2×2: если A = (a b; c d), то A⁻¹ = 1/(ad − bc) · (d −b; −c a).

Пример. A = (2 1 1; 1 3 2; 1 0 0), det A = −1.
A⁻¹ = (0 0 1; −2 1 3; 3 −1 −5).

Обратная матрица нужна для решения матричных уравнений AX = B (X = A⁻¹B) и систем линейных уравнений.