Векторное произведение

Калькулятор векторного и смешанного произведения находит векторное произведение a × b с разложением определителя, его длину (площадь параллелограмма и треугольника), смешанное произведение (a, b, c) — объём параллелепипеда и тетраэдра — и площадь треугольника по координатам трёх точек на плоскости или в пространстве.

Векторное произведение

a × b = (y₁z₂ − z₁y₂; z₁x₂ − x₁z₂; x₁y₂ − y₁x₂)

Его удобно считать как определитель с ортами i, j, k в первой строке. Вектор a × b перпендикулярен обоим векторам, его длина |a × b| = |a| · |b| · sin φ равна площади параллелограмма, построенного на a и b.

Пример 1. a = (1; 2; 3), b = (4; 5; 6).
a × b = (2·6 − 3·5; 3·4 − 1·6; 1·5 − 2·4) = (−3; 6; −3),   |a × b| = √54 = 3√6.

Смешанное произведение

(a, b, c) = (a × b) · c — определитель из координат трёх векторов. Его модуль равен объёму параллелепипеда на векторах, объём тетраэдра в 6 раз меньше. Если (a, b, c) = 0, векторы компланарны.

Пример 2. a = (1; 2; 3), b = (0; 1; 4), c = (5; 6; 0).
(a, b, c) = 1 · (0 − 24) − 2 · (0 − 20) + 3 · (0 − 5) = 1, V_{тетраэдра} = 1/6.

Площадь треугольника по координатам

S = ½ · |AB × AC|,   на плоскости: S = ½ · |(x_B − x_A)(y_C − y_A) − (y_B − y_A)(x_C − x_A)|