$Пределы$

Пределы

Калькулятор пределов функции в точке и на бесконечности: раскрытие неопределённостей, правило Лопиталя, замечательные пределы, односторонние пределы.

Какой предел:

Двусторонний, x → a

Слева, x → a − 0

Справа, x → a + 0

f(x) =

a =

Точка a — число, выражение (pi, 1/2) или бесконечность: inf, −inf, ∞. Примеры функций: sin(x)/x, (x^2 − 1)/(x − 1), (1 + 1/x)^x.

Проверь себя

Калькулятор пределов находит предел функции в точке и на бесконечности, а также односторонние пределы. Для дробно-рациональных функций он раскрывает неопределённости точно — сокращением дроби или делением на старшую степень. Для других функций применяет правило Лопиталя, а если оно не помогает — находит предел численно и распознаёт ответ (например, e или π/4).

Замечательные пределы

Первый замечательный	lim_x→0 sin x / x = 1
Второй замечательный	lim_x→∞ (1 + 1/x)ˣ = e
Следствия	lim_x→0 (eˣ − 1)/x = 1, lim_x→0 ln(1 + x)/x = 1, lim_x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2

Как раскрывать неопределённости

0/0 у дроби из многочленов — разложить на множители и сократить: (x² − 4)/(x − 2) = x + 2 → 4 при x → 2.
∞/∞ при x → ∞ — разделить на старшую степень: предел равен 0, отношению старших коэффициентов или ∞ в зависимости от степеней.
Правило Лопиталя: при 0/0 или ∞/∞ lim f/g = lim f′/g′.
∞ − ∞ с корнями — умножить на сопряжённое выражение.

Пример. lim_x→0 sin x / x: 0/0, по Лопиталю = lim cos x / 1 = 1.

Предел в точке существует, только если пределы слева и справа совпадают. Например, у 1/x при x → 0 слева −∞, справа +∞ — двустороннего предела нет.

Пределы

Замечательные пределы

Как раскрывать неопределённости

Комментарии