Геометрическая прогрессия

Калькулятор геометрической прогрессии находит n-й член, знаменатель и сумму первых n членов, а также сумму бесконечно убывающей прогрессии. Прогрессию можно задать первым членом и знаменателем, первым и n-м членом или двумя любыми членами. Если подходят два знаменателя (q и −q), калькулятор решает оба случая. Ответ точный — дробями, с подробным решением и таблицей первых членов.

Что такое геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность ненулевых чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q. Это число называют знаменателем прогрессии.

b_n+1 = b_n · q,   b₁ ≠ 0,   q ≠ 0

Например, 3, 6, 12, 24, 48, … — геометрическая прогрессия с b₁ = 3 и q = 2. При q < 0 знаки членов чередуются: 1, −2, 4, −8, …

Основные формулы

Модуль каждого члена (кроме первого) равен среднему геометрическому соседних членов — отсюда название прогрессии.

Пример 1. b₁ = 3, q = 2. Найдём b₁₀ и S₁₀.
b₁₀ = 3 · 2⁹ = 1536
S₁₀ = 3 · (2¹⁰ − 1) / (2 − 1) = 3069

Как найти знаменатель по двум членам

Отношение двух членов равно знаменателю в степени, равной разности их номеров: b_m / b_k = q^m−k. Остаётся извлечь корень степени m − k. Если эта степень чётная и отношение положительное, подходят два знаменателя: q и −q.

Пример 2. b₁ = 2, b₅ = 162.
q⁴ = 162 / 2 = 81 ⇒ q = 3 или q = −3.
При q = 3: S₅ = 242, при q = −3: S₅ = 122.

Бесконечно убывающая прогрессия

Если |q| < 1, члены прогрессии стремятся к нулю, а суммы S_n приближаются к конечному числу S = b₁ / (1 − q). При |q| ≥ 1 такой суммы не существует.

Пример 3. 8 + 4 + 2 + 1 + … : b₁ = 8, q = 1/2.
S = 8 / (1 − 1/2) = 16

С помощью этой формулы периодическую дробь превращают в обыкновенную: 0.(3) = 0.3 + 0.03 + … = 0.3 / (1 − 0.1) = 1/3.