Неравенства

Калькулятор неравенств решает линейные неравенства ax + b ⋚ 0, квадратные ax² + bx + c ⋚ 0 и неравенства с модулем |ax + b| ⋚ c. Ответ записывается промежутками, решение расписано по шагам.

Линейные неравенства

Решаются так же, как уравнения, но с одним важным правилом: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Пример. −3x + 6 ≤ 0 ⇒ −3x ≤ −6 ⇒ x ≥ 2 ⇒ x ∈ [2; +∞)

Квадратные неравенства — метод интервалов

1. Сделайте коэффициент при x² положительным (если нужно, умножьте на −1 и поменяйте знак).
2. Найдите корни трёхчлена через дискриминант.
3. Ветви параболы направлены вверх: между корнями трёхчлен отрицателен, снаружи — положителен.

Пример. x² − 3x − 4 < 0. Корни: x = −1 и x = 4. Ответ: x ∈ (−1; 4).
Для x² − 3x − 4 ≥ 0 ответ: x ∈ (−∞; −1] ∪ [4; +∞).

Неравенства с модулем

• |f(x)| < c (c > 0) ⇔ −c < f(x) < c — двойное неравенство;
• |f(x)| > c (c > 0) ⇔ f(x) < −c или f(x) > c — совокупность;
• если c < 0, то |f(x)| < c не имеет решений, а |f(x)| > c выполняется при любом x.

Пример. |2x − 1| < 5 ⇔ −5 < 2x − 1 < 5 ⇔ −2 < x < 3 ⇒ x ∈ (−2; 3)

Как записывать ответ

Круглая скобка ( ) означает, что граница не входит в ответ (строгий знак < или >), квадратная [ ] — что входит (знак ≤ или ≥). Бесконечность всегда пишут с круглой скобкой. Знак ∪ объединяет промежутки.

Любое неравенство строкой

В четвёртом режиме неравенство вводится как текст. Многочлены и дроби решаются точно. Показательные, логарифмические, тригонометрические и неравенства с корнем решаются численно, и это указано в решении. Для тригонометрических калькулятор находит период и записывает ответ с k ∈ ℤ.

Пример. sin x ≥ 1/2 даёт x ∈ [π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk], k ∈ ℤ.