Produit vectoriel

Le calculateur de produit vectoriel et de produit mixte trouve le produit vectoriel a × b avec le développement du déterminant, sa norme (l'aire d'un parallélogramme et d'un triangle), le produit mixte (a, b, c) — le volume d'un parallélépipède et d'un tétraèdre — et l'aire d'un triangle à partir des coordonnées de trois points dans le plan ou dans l'espace.

Produit vectoriel

a × b = (y₁z₂ − z₁y₂, z₁x₂ − x₁z₂, x₁y₂ − y₁x₂)

Il est commode de le calculer comme un déterminant avec les vecteurs unitaires i, j, k sur la première ligne. Le vecteur a × b est orthogonal aux deux vecteurs, et sa norme |a × b| = |a| · |b| · sin φ est égale à l'aire du parallélogramme construit sur a et b.

Exemple 1. a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6).
a × b = (2·6 − 3·5, 3·4 − 1·6, 1·5 − 2·4) = (−3, 6, −3),   |a × b| = √54 = 3√6.

Produit mixte

(a, b, c) = (a × b) · c est le déterminant des coordonnées des trois vecteurs. Sa valeur absolue est le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs ; le volume du tétraèdre est 6 fois plus petit. Si (a, b, c) = 0, les vecteurs sont coplanaires.

Exemple 2. a = (1, 2, 3), b = (0, 1, 4), c = (5, 6, 0).
(a, b, c) = 1 · (0 − 24) − 2 · (0 − 20) + 3 · (0 − 5) = 1, V_tétraèdre = 1/6.

Aire d'un triangle à partir des coordonnées

S = ½ · |AB × AC|,   dans le plan : S = ½ · |(x_B − x_A)(y_C − y_A) − (y_B − y_A)(x_C − x_A)|