Décimal périodique en fraction

La calculatrice de décimaux périodiques convertit un nombre décimal périodique en fraction : 0.(3) = ¹/₃, 0.1(6) = ¹/₆. Saisissez la partie périodique entre parenthèses.

Qu'est-ce qu'un nombre décimal périodique

Un nombre décimal périodique est un nombre à écriture décimale infinie dans laquelle le même groupe de chiffres se répète indéfiniment. Ce groupe s'appelle la période et s'écrit entre parenthèses (ou avec une barre au-dessus) :

0.333… = 0.(3),   0.1666… = 0.1(6),   2.142857142857… = 2.(142857)

• Un décimal périodique simple commence à se répéter juste après la virgule : 0.(3).
• Un décimal périodique mixte a d'autres chiffres entre la virgule et la période : 0.1(6).

Règle de conversion en fraction

• Numérateur : le nombre formé par tous les chiffres jusqu'à la fin de la première période, moins le nombre formé par les chiffres situés avant la période.
• Dénominateur : autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période, suivis d'autant de 0 qu'il y a de chiffres entre la virgule et la période.

Exemple 1. 0.(3) = ^{3 − 0}/₉ = ³/₉ = ¹/₃

Exemple 2. 0.1(6) = ^{16 − 1}/₉₀ = ¹⁵/₉₀ = ¹/₆

Exemple 3. 1.25(07) = ^{12507 − 125}/₉₉₀₀ = ¹²³⁸²/₉₉₀₀ = ⁶¹⁹¹/₄₉₅₀

Pourquoi cette règle fonctionne

Posons x = 0.(3). Multiplions par 10 : 10x = 3.(3). Soustrayons le nombre de départ : 10x − x = 3, donc 9x = 3 et x = ³/₉ = ¹/₃. Multiplier par 10, 100, 1000… décale la période, et les queues infinies s'annulent lors de la soustraction — c'est l'origine des 9 au dénominateur.

Le saviez-vous : 0.(9) = ⁹/₉ = 1 — c'est le même nombre.