PGCD et PPCM

Plus grand commun diviseur (PGCD) : c'est le plus grand entier positif qui divise chacun des nombres donnés sans laisser de reste.

Plus petit commun multiple (PPCM) : c'est le plus petit nombre divisible par tous les nombres donnés sans laisser de reste.

Comment trouver le PGCD

1. Méthode de l'énumération des diviseurs
   Cette méthode peut être fastidieuse pour de grands nombres.
   Elle consiste à lister tous les diviseurs des nombres et à choisir le plus grand diviseur commun.

   Exemple :
   Trouvons le PGCD des nombres 12 et 18.
     Diviseurs de 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12.
     Diviseurs de 18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
     Diviseurs communs : 1, 2, 3, 6.
   Réponse : PGCD(12 ; 18) = 6.

2. Décomposition en facteurs premiers
   Le principe de cette méthode est d'écrire chaque nombre comme un produit de nombres premiers.
   Cette méthode convient bien aux petits nombres et permet de trouver le PGCD de plusieurs nombres à la fois.
   Algorithme :
     Décomposez chaque nombre en facteurs par divisions successives.
     Repérez tous les facteurs communs, c'est-à-dire ceux qui apparaissent dans chacun des nombres donnés.
     Parmi eux, retenez les facteurs avec le plus petit exposant.
     Multipliez-les entre eux pour obtenir le PGCD.
   Exemple :
   PGCD(12 ; 18)

   Nombre		Facteurs		Sous forme de puissances
   12	=	2×2×3	=	22 × 31
   18	=	2×3×3	=	21 × 32

   Facteurs communs avec les plus petits exposants :  2¹ * 3¹ = 6
3. Algorithme d'Euclide
   La méthode la plus pratique. Elle convient bien aux grands nombres, mais seulement pour deux nombres à la fois.
   Algorithme :
     Divisez le plus grand nombre par le plus petit et trouvez le reste.
     Divisez le plus petit nombre par le reste de la division précédente.
     Recommencez jusqu'à ce que le reste soit nul.
     Le PGCD est le dernier reste non nul.
     Si le reste est nul dès la première division, le PGCD est le plus petit nombre.
   Exemple :

   Division	Quotient	Reste
   18÷12 =	1	6
   12÷6 =	2	0

    PGCD(12 ; 18) = 6

Comment trouver le PPCM

1. À l'aide du PGCD connu
   La méthode la plus simple et la plus accessible. Cependant, elle exige de connaître le PGCD et ne s'applique qu'à deux nombres.
   Elle repose sur la formule suivante :

   $PPCM=\frac{\left|a·b\right|}{PGCD}$
   où a et b sont les nombres donnés.

   Exemple :
   Trouvons le PPCM des nombres 12 et 18
   Déterminons d'abord PGCD(12 ; 18) = 6
   $PPCM=\frac{12·18}{6}=36$
2. Méthode de la décomposition en facteurs premiers
   Le principe de la méthode est de décomposer un nombre en plusieurs nombres premiers, appelés facteurs.
   Cette méthode convient pour un nombre quelconque de valeurs.
   Exemple :
   Trouvons le PPCM des nombres 12 et 18
     Décomposons ces nombres en facteurs premiers :

   Nombre		Facteurs		Sous forme de puissances
   12	=	2×2×3	=	22 × 31
   18	=	2×3×3	=	21 × 32

       Si des facteurs se répètent, choisissez celui qui a le plus grand exposant. Ces facteurs sont mis en évidence en vert.
       Le produit de tous les facteurs distincts avec leurs plus grands exposants donne le PPCM des nombres donnés.

   22 × 32

   =

   36

       

Au premier abord, trouver le PGCD et le PPCM de nombres peut sembler fastidieux. Mais avec un peu d'entraînement et en vous vérifiant avec notre calculateur de PGCD et PPCM, vous maîtriserez parfaitement le calcul du PGCD et du PPCM.
N'oubliez pas que le PGCD est le plus grand nombre, tandis que le PPCM est, au contraire, le plus petit.