Produit scalaire
Trouvez le produit scalaire de vecteurs à partir des coordonnées ou des longueurs et de l'angle, le cosinus de l'angle, la projection et la vérification de l'orthogonalité.
Le calculateur de produit scalaire trouve le produit scalaire de vecteurs à partir de leurs coordonnées (dans le plan et dans l'espace) ou de leurs longueurs et de l'angle qu'ils forment. À partir des coordonnées, il trouve aussi les longueurs, le cosinus de l'angle, l'angle lui-même, la projection scalaire d'un vecteur sur l'autre, et vérifie l'orthogonalité.
Formules du produit scalaire
| Données connues | Formule |
|---|---|
| Coordonnées dans le plan | a · b = x1x2 + y1y2 |
| Coordonnées dans l'espace | a · b = x1x2 + y1y2 + z1z2 |
| Longueurs et angle | a · b = |a| · |b| · cos φ |
| Projection scalaire de a sur b | compba = (a · b) / |b| |
Exemple 1. a = (1, 2, −3), b = (4, −1, 2).
a · b = 1 · 4 + 2 · (−1) + (−3) · 2 = −4 — l'angle est obtus.
Exemple 2. |a| = 3, |b| = 4, φ = 60°.
a · b = 3 · 4 · ½ = 6.
Propriétés
- a · b = 0 ⇔ les vecteurs sont orthogonaux (ou l'un d'eux est nul).
- Le signe indique le type d'angle : positif — aigu, négatif — obtus.
- a · a = |a|² — le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa longueur.
- Le produit scalaire est commutatif et distributif : a · (b + c) = a · b + a · c.
En physique, le produit scalaire de la force et du déplacement est le travail : W = F · s · cos φ.
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