$Étude de fonction$

Étude de fonction

Étude complète d'une fonction pas à pas : ensemble de définition, parité, zéros, asymptotes, dérivée, extremums, convexité, points d'inflexion et courbe. Polynômes et fonctions rationnelles.

Fonction :

f(x) =

Un polynôme ou un quotient de polynômes : x^3 − 3x, (x^2 + 1)/x, x/(x^2 − 4), x^4 − 2x^2. Le signe de multiplication peut être omis : 2x, 3(x − 1).

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Le calculateur d'étude de fonction réalise l'étude complète d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle selon le plan habituel du lycée : il détermine l'ensemble de définition, la parité, les zéros, les asymptotes, la dérivée, les intervalles de croissance et de décroissance et les extremums, la dérivée seconde, la convexité et les points d'inflexion, puis trace la courbe. Les racines sont trouvées exactement lorsque c'est possible (par exemple, x = (1 + √5)/2), les autres de façon approchée.

Le plan d'une étude de fonction

Ensemble de définition D(f). Pour une fraction, on exclut les points où le dénominateur s'annule.
Parité. Si f(−x) = f(x), la fonction est paire (la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; si f(−x) = −f(x), elle est impaire (symétrique par rapport à l'origine).
Points d'intersection avec les axes. Les abscisses à l'origine sont les solutions de f(x) = 0, l'ordonnée à l'origine est le point (0, f(0)).
Asymptotes. Les asymptotes verticales se trouvent aux zéros du dénominateur ; une asymptote horizontale ou oblique y = kx + b décrit le comportement lorsque x → ±∞.
Dérivée f′(x). Les zéros de la dérivée sont les points critiques. Là où f′(x) > 0, la fonction est croissante, là où f′(x) < 0, elle est décroissante. Si le signe passe de + à − en un point, c'est un maximum ; de − à +, un minimum.
Dérivée seconde f″(x). Là où f″(x) > 0, la courbe est convexe (∪), là où f″(x) < 0, elle est concave (∩). Un point où f″ change de signe est un point d'inflexion.
La courbe est tracée en passant par tous les points trouvés et en tenant compte des asymptotes.

Dérivée d'un quotient

(P / Q)′ = (P′ · Q − P · Q′) / Q²

Le dénominateur Q² est positif sur tout l'ensemble de définition, donc le signe de la dérivée est celui de son numérateur.

Asymptotes d'une fonction rationnelle

Degrés du numérateur et du dénominateur	Asymptote
deg P < deg Q	horizontale y = 0
deg P = deg Q	horizontale y = (coefficient dominant de P) / (coefficient dominant de Q)
deg P = deg Q + 1	oblique y = kx + b — le quotient de la division de P par Q
deg P ≥ deg Q + 2	pas d'asymptote horizontale ni oblique

Si le numérateur et le dénominateur s'annulent au même point, après simplification la courbe présente un trou en ce point, et non une asymptote : (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 pour x ≠ 1.

Exemple. f(x) = x³ − 3x.
D(f) = (−∞, +∞), la fonction est impaire, zéros : x = 0, x = ±√3.
f′(x) = 3x² − 3 = 0 ⇒ x = ±1 ; x = −1 est un maximum, f(−1) = 2 ; x = 1 est un minimum, f(1) = −2.
f″(x) = 6x : pour x < 0 la courbe est concave, pour x > 0 convexe, (0, 0) est un point d'inflexion.

Comment saisir la fonction

Polynômes et quotients de polynômes : x^3 − 3x, (x^2 + 1)/x, x/(x^2 − 4), (x − 1)^2(x + 2). Le signe de multiplication peut être omis, les exposants sont des entiers jusqu'à 12. Pour les fonctions avec racines, logarithmes et sinus, utilisez le calculateur de graphiques.