Somme des nombres de 1 à N

La calculatrice de somme de nombres trouve la somme de tous les entiers de 1 à N ou de M à N à l'aide de la formule de Gauss et affiche une solution détaillée. Les nombres négatifs sont également pris en charge.

Formule de la somme de 1 à N

1 + 2 + 3 + … + N = ^{N · (N + 1)}/₂

Exemple. 1 + 2 + … + 100 = ^{100 · 101}/₂ = 5050

Comment Gauss a trouvé la formule

Selon une histoire bien connue, le jeune Carl Friedrich Gauss reçut de son professeur la consigne d'additionner tous les nombres de 1 à 100 et donna la réponse presque aussitôt. Il avait remarqué qu'il est facile d'additionner ces nombres par paires — le premier avec le dernier, le deuxième avec l'avant-dernier :

1 + 100 = 101,   2 + 99 = 101,   3 + 98 = 101,   …

Il y a 50 paires de ce type, dont chacune donne 101, donc la somme vaut 50 · 101 = 5050.

Somme des nombres de M à N

Des nombres consécutifs forment une suite arithmétique de raison 1 ; leur somme est donc égale à la moitié de la somme du premier et du dernier terme, multipliée par le nombre de termes :

S = ^{(M + N) · n}/₂,   où n = N − M + 1

Exemple. Calculer la somme des nombres de 5 à 10.
n = 10 − 5 + 1 = 6
S = ^{(5 + 10) · 6}/₂ = 45
Vérification : 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45

Faits utiles

• La somme des n premiers nombres impairs est égale à n² : 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4².
• La somme des nombres de −N à N est nulle : les termes négatifs et positifs s'annulent.
• La somme divisée par le nombre de termes est la moyenne, et elle est égale à la moitié de la somme du premier et du dernier terme.