Équations du troisième degré

Le solveur d'équations du troisième degré résout ax³ + bx² + cx + d = 0. Si l'équation a une racine rationnelle, la calculatrice la trouve grâce au théorème des racines rationnelles, divise le polynôme par la méthode de Horner (division synthétique) et résout exactement l'équation du second degré restante. Sinon, elle utilise la formule de Cardan ou la méthode trigonométrique et donne des valeurs approchées des racines.

Méthode 1. Trouver une racine rationnelle

Si les coefficients sont entiers, une racine rationnelle ^p/_q (sous forme irréductible) doit avoir p qui divise le terme constant d et q qui divise le coefficient dominant a. Essayez ces nombres, trouvez une racine x₀ et divisez le polynôme par (x − x₀) — il reste un trinôme du second degré.

Exemple. x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Diviseurs de 6 : ±1, ±2, ±3, ±6. Essayons x = 1 : 1 − 6 + 11 − 6 = 0 — c'est une racine.
Division synthétique : x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x² − 5x + 6)
x² − 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2, x = 3. Réponse : x = 1 ; 2 ; 3

Division synthétique

La division d'un polynôme par (x − x₀) s'écrit commodément sous forme de tableau : on abaisse le premier coefficient, puis chaque nombre suivant = coefficient + x₀ · le nombre précédent de la ligne du bas. Le dernier nombre est le reste ; si x₀ est une racine, il est nul.

Méthode 2. Formule de Cardan

Le changement de variable x = t − ^b/_3a transforme l'équation en t³ + pt + q = 0. Le nombre de racines dépend du signe de

Δ = (^q/₂)² + (^p/₃)³

• Δ > 0 — une racine réelle t = ∛(−q/2 + √Δ) + ∛(−q/2 − √Δ) et deux complexes ;
• Δ = 0 — toutes les racines sont réelles et certaines sont confondues ;
• Δ < 0 — trois racines réelles distinctes, trouvées par la méthode trigonométrique.

Une équation du troisième degré à coefficients réels a toujours au moins une racine réelle.