Nombres complexes
Calculateur de nombres complexes : addition, multiplication, division, module et argument, formes trigonométrique et exponentielle, puissances et racines par la formule de Moivre.
Le calculateur de nombres complexes additionne, soustrait, multiplie et divise des nombres complexes, trouve le module, l'argument, les formes trigonométrique et exponentielle et le conjugué, élève à une puissance par la formule de Moivre et trouve les racines n-ièmes. Les opérations en forme algébrique sont exactes, avec des fractions.
Opérations en forme algébrique z = a + bi
| Opération | Formule |
|---|---|
| Somme | (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i |
| Produit | (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i, puisque i² = −1 |
| Quotient | (a + bi)/(c + di) = (a + bi)(c − di) / (c² + d²) |
| Conjugué | z̄ = a − bi, z · z̄ = a² + b² |
Module, argument et formes
|z| = √(a² + b²), φ = arg z, z = |z|(cos φ + i sin φ) = |z|eiφ
Exemple. z = 1 + i : |z| = √2, φ = π/4, z = √2(cos π/4 + i sin π/4).
Formule de Moivre et racines
zⁿ = |z|ⁿ(cos nφ + i sin nφ), wk = ⁿ√|z| · (cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), k = 0, …, n − 1
Exemple. (1 + i)⁸ = (√2)⁸(cos 2π + i sin 2π) = 16. Les racines cubiques de 8 : 2, −1 + √3·i, −1 − √3·i.
Tout nombre non nul possède exactement n racines n-ièmes distinctes ; dans le plan complexe, elles forment un polygone régulier à n côtés.
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